Question

In triunghiul ABC notam cu M mijlocul segmentului [BC] si cu G centrul de greutate al triunghiului. Aratati ca :
a) AM vector = 1/2 ( AB vector + AC vector ) ;
b) GA vector + GB vector + GC vector = 0 vector
c) pentru orice punct O din plan, avem relatie OA vector + OB vector + OC vector = 3OG vector.
Va rog frumos sa ma ajutati !

Answer 1

stim ca centrul de greutate in triunghi se afla la intersectia medianelor si se afla la distanta de 1/3 de la baza si 2/3 de la varf.
am notat cu N mijlocul lui AC si cu P mijlocul lui AB
vectorial:
a)
AM=AB+BM (in tr. ABM)
AM=AC+CM  (in tr. AMC)  le adunam si tinem seama ca vectorii BM si CM au sensuri opuse si modulele egale deci BM+CM=0

2AM=AB+AC ⇒ AM=(AB+AC)/2
2BN=BA+BC ⇒ BN=(BA+BC)/2
2CP=CA+CB ⇒ CP=(CA+CB)/2
deci vectorial, mediana este semisuma laturilor care pleaca din acelasi punct

b)
GA= - 2AM/3= - 2(AB+AC)/3  ma folosesc de rezzultatele de la a)
GB= - 2BN/3= - 2(BA+BC)/3
GC= - 2CP/3= - 2(CA+CB)/3 le adunam
GA+GB+GC= - 2(AB+BA+AC+CA+BC+CB)/3=0
ai suma de cate 2 vectori opusi si de module egale

c)
OG=OA+2AM/3 (in tr. AOG)
OG=OB+2BN/3 (in tr. BOG)
OG=OC+2CP/3 (in tr. COG) le adunam si tinem seama de rezultatele de la a)
3OG=OA+OB+OC+2(AM+BN+CP)/3=
=OA+OB+OC+2(AB+AC+BA+BC+CA+CB)/3 = OA+OB+OC+0 pentru ca:

AB+BA=0
AC+CA=0
BC+CB=0