Question

In triunghiul ABC, punctele M, N, P sunt mijloacele laturilor [BC], [AB], respectiv [AC]. Sa se arate ca :
a) AM (vector)+ BP(vector) +CN(vector)=0(vector)
b) AN(vector) +AP(vector) =AM (vector)

Answer 1

sa luam cazul medianei AM.M este mijlocul laturii BC, atunci BM=CM si vectorial$\vec{BM}=\vec{MC}$ Putem scrie vectorul ca$\vec{AM}=\vec{AB}+\vec{BM}$$\vec{AM}=\vec{AC}+\vec{CM}$Adunam cele 2 relatii$2\vec{AM}=\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{BM}+\vec{CM}=\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{BM}-\vec{BM}=\vec{AB}+\vec{AC}\Rightarrow\vec{AM}=\frac{\vec{AB}+\vec{AC}}{2}$In mod similar, obtinem ca$\vec{BP}=\frac{\vec{BA}+\vec{BC}}{2}$$\vec{CN}=\frac{\vec{CA}+\vec{CB}}{2}$Atunci$\vec{AM}+\vec{BP}+\vec{CN}=\frac{1}{2}(\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{BC}+\vec{BA}+\vec{CA}+\vec{CB})=\frac{1}{2}(\vec{AB}-\vec{AB}+\vec{AC}-\vec{AC}+\vec{BC}-\vec{BC})=\vec{0}$
b) Stim ca AN este jumatate din AB si AP jumatate din AC
$\vec{AN}=\frac{1}{2}\vec{AB}$
$\vec{AP}=\frac{1}{2}\vec{AC}$
si atunci rescriem pe AM
$\vec{AM}=\frac{1}{2}(\vec{AB}+\vec{AC})=\frac{1}{2}\vec{AB}+<span>\frac{1}{2}\vec{AC}=\vec{AN}+\vec{AP}</span>$