Question

In triunghiul ABC, punctele M, N, P sunt mijloacele segmentelor BC, AC si AM. Sa se calculeze raportul arie MNP/ arie ABC
VA ROG URGENT!

Answer 1

$\displaystyle Mediana~unui~triunghi~imparte~triunghiul~in~doua~suprafete \\ \\ echivalente. \\ \\ \left[ NP \right]~este~mediana~in~ \Delta ANM \Rightarrow A_{MNP}= \frac{A_{AMN}}{2}. \\ \\ \left[ MN \right]~este~mediana~in~\Delta AMC \Rightarrow A_{AMN}= \frac{A_{AMC}}{2}. \\ \\ \left[ AM \right]~este~mediana~in~ \Delta~ABC \Rightarrow A_{AMC}= \frac{A_{ABC}}{2}. \\ \\ Deci~avem:~A_{MNP}= \frac{A_{AMN}}{2}= \frac{A_{AMC}}{4}= \frac{A_{ABC}}{8}.$

$\displaystyle A_{MNP}= \frac{A_{ABC}}{8} \Rightarrow \frac{A_{MNP}}{A_{ABC}}= \frac{1}{8}.$

Answer 2

Daca notam cu Q mijlocul laturi AB, obtinem 4 triunghiuri congruente ΔAQM≡ΔMNQ≡ΔAQN≡ΔMNQ cazul (L,L,L) deci aria ΔMNQ=1/4aria ΔABC, Mijlocul lui AM, adica puntul P este pe linia mijlocie NQ la mijlocul lui MQ (MNAQ=paralelogram, P=intersectia diagonalelor) deci ariaΔMNP=1/2ariaΔMNQ ⇒(ariaΔMNP)/(ariaΔABC)=1/8