Question

În triunghiul ABC, se considera M,N,P mijloacele laturilor AB, AC, BC. Sa se arate:
1) vector BN = 1/2(vectBA+vectBC)
2) vector GA+vector GB+vector GC=vector 0,unde G este centru de greutate al triunghiului ABC.

Answer 1

1)
BN=BA+AC/2
BN=BC+CA/2 le adunam
2BN=BA+BC+(AC+CA)/2=BA+BC+(AC-AC)/2
BN=(BA+BC)/2 si mai departe putem scrie:
AP=(AB+AC)/2
CM=(CA+CB)/2 relatii vectoriale dintre medianele unui triunghi si laturile care pornesc din acelasi varf cu aceasta.

2)
GA=BA/2+CM/3
GB=CB/2+AP/3
GC=AC/2+BN/3 s-a tinut seama de faptul ca intr-un tr. medianele se intersecteaza la 2/3 de la varf si 1/3 de la baza
adunam si tinem cont ca BA+AC+CB=0 (poligon inchis) si inlocuim vectorii mediana cu relatiile de la 1)

GA+GB+GC=(BA+CB+AC)/2 + (CA+CB+AB+AC+BA+BC)/6
GA+GB+GC=0+0 =0 se tine seama ca CA=-AC, CB=-BC si AB=-BA vectori opusi