Question

În triunghiul ABC se consideră mediana [BD] , m(DBC) =90*,BD =(radical din 3 )/ 4 * AB. să se determine m(ABD)

Answer 1

Asta e singura solutie pe care am gasit-o. Cred ca este cea corecta
BD este mediana in triunghiul ABC, ceea ce inseamna ca va imparti triunghiul in doua triunghiuri de arii egale
$A_{CBD}=A_{BDA}$
Stim ca triunghiul CBD este dreptunghic, cu catetele BC si BD
$A_{CBD}=\frac{BC*BD}{2}$
Aria celuilalt triunghi poate fi scris cu formula sin* laturi adiacente/2, folosindu-ne de unghiul ABD si laturile adiacente
$A_{DBA}=\frac{\sin{ABD}*AB*BD}{2}$
Acum egalam cele doua arii
$\frac{CB*BD}{2}=\frac{\sin{ABD}*AB*BD}{2}\Rightarrow \sin{ABD}=\frac{CB}{AB}$
stim ca D este mijlocul lui AC, atunci CD=AD
iar pe AD il putem gasi din teorema cosinusului in triunghiul ABD aplicata pentru unghiul ABD
$AD^{2}=AB^{2}+BD^{2}-2*AB*BD\cos{ABD}=CD^{2}$
BC poate fi calculat din teorema lui Pitagora
$BC^{2}+BD^{2}=CD^{2}=AB^{2}+BD^{2}-2*AB*BD\cos{ABD}\Rightarrow BC^{2}=AB^{2}-2*AB*BD\cos{ABD}\Rightarrow BC^{2}=AB^{2}-2*AB*(AB*\frac{sqrt{3}}{4})\cos{ABD}=AB^{2}(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos{ABD})\Rightarrow BC=AB*\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos{ABD}}$
Inlocuim pe BC in relatia de mai sus de am gasit-o pentru sin ABD
$\sin{ABD}=\frac{BC}{AB}=\frac{AB*\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos{ABD}}}{AB}=\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos{ABD}}$ Ridicam la patrat in ambele parti
$\sin{ABD}^{2}=1-\frac{\sqrt{3}}{2}*\cos{ABD}$
Dar stim ca
$\sin{ABD}^{2}+\cos{ABD}^{2}=1\Rightarrow \sin{ABD}^{2}=1-\cos{ABD}^{2}$
$1-\cos{ABD}^{2}=1-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos{ABD}\Rightarrow \cos{ABD}^{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos{ABD}$
Am putea imparti prin cos(ABD) nu am putea face impartirea daca ar fi cos(ABD)=0, dar asta se poate intampla doar pentru m(ABD)=90. Dar stiind ca m(DBC)=90, asta ar insemna ca m(ABC)=180, adica A,B,C ar fi coliniare, ceea ce nu este posibil pentru ca formeaza un triunghi. Deci putem imparti prin cos si obtinem
$\cos{ABD}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow m(ABD)=30$