Question

in triunghiul ABC simetricul punctului A fata de M ,mijlocul laturii[BC],este punctul D.Demonstratie ca AB paralel cu CD,triunghiul. ABD este congruent cu DCA

Answer 1

Prima metoda:
D fiind simetricul lui A fata de punctul M, atunci AM=DM
M fiind mijlocul laturii BC atunci: BM=MC
dreptele AD si BC se intretaie in punctul M, atunci unghiurile opuse la varf sunt egale:
$\angle{AMB}=\angle{DMC}$
Deci ai doua cate doua laturi egale, si unghiul dintre ele egale, inseamna ca triunghiurile AMB si DMC sunt congruente cu un caz LUL(Latura,Unghi,Latura) de aici reiese ca:
si ultima latura din triunghiul AMB este egala cu cealalta ramasa din DMC: AB=CD
Apoi putem vedea ca dreapta AD taie dreptele AB si CD, cu unghiurile formate 
$\angle{BAM}=\angle{CDM}$ care respecta egalitatea unghiurilor alterne interne unei secante cand taie doua drepte paralele, adica AB||CD

triunghiurile ABD si DCA au latura comuna AD, laturile AB=CD, si unghiurile dintre ele egale, relatia de mai sus, atunci tot prin caz LUL rezulta ca ABD si ACD sunt congruente.

A doua metoda: se uneste D cu B si se formeaza patrulaterul ABCD, cu diagonalele AD si BC. M este mijlocul lui AD dar si al lui BC, deci diagonalele se intretaie la jumatate. Aceasta este o proprietate a paralelogramului, de unde deducem ca ABCD este paralelogram cu AB||CD.
Mai stim de asemenea ca orice diagonala a unui paralelogram creeaza doua triunghiuri congruente. Din moment ce AD este diagonala, atunci triunghiurile ABD si DCA vor fi congruente.