Question

In triunghiul ascuțitunghic ABC cu m(<A) = 60° se construiesc înălţimile
BD,D€ AC și CE, E € AB, iar M este mijlocul laturii [BC]. Demonstrați că
triunghiul MED este echilateral. DAU COROANA​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

M - mijlocul lui BC. BD⊥AC, în ΔBDC, dreptunghic în D, DM este mediană corespunzătoare ipotenuzei, deci DM=(1/2)BC=MC. Deci ΔDMC este isoscel cu baza DC, ⇒∡MDC=∡MCD. Atunci ∡DMC=180°-2·∡MCD.

La fel,  CE⊥AB, în ΔBCE, dreptunghic în E, EM este mediană corespunzătoare ipotenuzei, deci EM=(1/2)BC=BM. Deci ΔBEM este isoscel cu baza BE, ⇒∡MBE=∡MEB. Atunci ∡BME=180°-2·∡MBE.

Deoarece EM=BM și DM=CM, ⇒EM=DM, deci ΔDEM este isoscel cu baza DE.

∡DMC+∡BME=180°-2·∡MBE+180°-2·∡MBE=360°-2·(∡MBE+∡MBE).

Dar din ΔABC, ∡MBE+∡MBE=180°-∡BAC=180°-60°=120°. Atunci, ∡DMC+∡BME=360°-2·120°=120°. Deci, ∡DME=∡CMB-(∡DMC+∡BME)=180°-120°=60°.

Atunci, ∡MDE=∡MED=(180°-∡DME):2=60°. Deci ΔDEM este echilateral.