Question

In triunghiul ascutitunghic cu m(∢A)= 60° se construiesc inaltimile BD,D∈AC si CE,E∈AB,iar M este mijlocul laturii [BC].Demonstrati ca triunghiul MED este echilateral.

Answer 1

EM medianain tr dr CEB, EM=BC/2 (1)



m∡A=60°⇒m∡DBA=30°⇒
AD=AB/2   (2)

m∡A=60°⇒m∡ACE=30°⇒
AE=DC/2  (3)

∡A≡∡A (4)

din (2) , (3) si (4)⇒caz asemanare LUL Δ ADE≈ΔABC (5)
AD/AB=DE/BC=1/2 ⇔DE=BC/2 (6)


din (1) si (6)⇒[DE]≡[EM]⇔ΔDEM isoscel (7)


EM mediana intr dr CEB⇒m∡MEB=m∡CBA (8)
din  Δ ADE≈ΔABC (5)⇒m∡AED=m∡ACB (9)

atunci  din (8) si (9)⇒m∡DEM=180°-m∡AED-m∡MEB=
                                                  =180°-m∡ACB-m∡CBA=
                                                  =m∡CAB=60°
adica
m∡DEM=60° (10)

din (7) si (10)⇒ΔDEM, isoscel cu un unghi de 60°⇔
ΔDEM,echilateral
C.C.T.D.

Answer 2

M -mijlocul lui BC ⇒ MC = MB

DM -mediană corespunzătoare ipotenuzei în ΔDBC ⇒ DM = BC/2    (1)

EM - mediană corespunzătoare ipotenuzei în ΔEBC ⇒ EM = BC/2    (2)

(1), (2) ⇒ ΔMDE -isoscel, DM = EM     (3)

Vom arăta că ∡DME =60°.

Δ MCD -isoscel, MC=MD ⇒ ∡DMC = 180° -2C

Δ MEB -isoscel, ME=MB ⇒ ∡BME = 180° - 2B

∡DMC  + ∡BME = 180° -2C + 180° - 2B = 360° -2(B+C) = 360° -2(180° -A) =

= 360° -2(180° -60°) = 360°- 2·120° = 360°- 240° = 120° 


∡DME = 180° - (∡DMC  +∡BME) = 180°-120°= 60°     (4)

(3), (4) ⇒ ΔDME - echilateral