Question

In triunghiul drept. ABC cu m (BAC)=90° cosideram P€(BC) si notam cu Q si R simetricele punctului P fata de AC, respectiv AB. Aratati ca: a) Q,A,R sunt
coliniare b) AP=QR/2

Answer 1

AB estebisectoarea unghiului RAP, de unde 
m(BAP)=1/2m(RAP)
AC estebisectoarea unghiului QAP, de unde 
m(CAP)=1/2m(QAP)
Adunam cele 2 relatii si obtinem:
90=m(CAB)=m(BAP)+m(CAP)=1/2[m(RAP)+m(QAP)]
90=1/2m(RAQ) => m(RAQ)=180 =>Q,A, R sunt coliniare.
b) ABperpRP
   ACperpQR        =>RP perp PQ => ΔRPQ dreptunghic in P 
   ACperp AB 

AC int PQ={A'} => AA' linie misjlocie =>A mislocul lui RQ si deci PA este mediana in triunghiul dreptunghic si jumatate din ipotenuza QR