Question

In triunghiul dreptunghic ABC, cu masura unghiului BAC=90, consideram P apartine (BC) si notam cu Q si R simetricele punctului P fata de AC, respectiv AB. Aratati ca:
a) Q,A,R sunt coliniare
b) AP= $\frac{QR}{2}$                                                        

Answer 1

Vezi figura atasata.
Fie M= PQ intersectat cu AC si N= PR intersectat cu AB.

Comparam ΔAPM cu ΔAQM
PM=MQ si <AMP=<AMQ=90(deoarece Q este simetricul lui P fata de AC)
AM latura comuna=> ΔAPM =ΔAQM
=><PAM=<MAQ

Comparam ΔARN cu ΔAPN
RN=NP si <ANR=<ANP=90(deoarece R este simetricul lui P fata de AB)
AN latura comuna=> ΔARN = ΔAPN
=><RAN=<NAP

Daca <NAP+<PAM=90
=> <RNA+<MAQ=90

=> <RAQ=<RNA+<NAP+<MAM+<MAQ=180 =>R,A si Q sunt coliniare

b)am demonstrat mai devreme ca
ΔAPM =ΔAQM si
ΔARN = ΔAPN
=> AP=AR si AP=AQ => AR=AQ=AP=> AP=RQ/2