Question

In triunghiul dreptunghic ABC, m(<A), se duce AD perpendicular pe BC, D reprezinta (BC), si se uneste punctul D cu mijloacele M si N ale laturilor [AB] si [AC]. Demonstrati ca m(<MDN)=90.

Answer 1

in triunghiul dreptunghic ABD, DM este mediana din varful unghiului drept D deci:
DM=AB/2=BM=MA ⇒ MD=MA ⇒ tr. AMD e isoscel ⇒ ∡MAD=∡MDA=x

in triunghiul dreptunghic ADC, DN este mediana din varful unghiului drept D deci:
DN=AC/2=NC=AN ⇒ DN=AN ⇒ tr. ADN e isoscel ⇒ ∡NAD=∡NDA=y 

∡A=90°=x+y = ∡MDN
∡MDN=90°

Answer 2

Daca AD perp. BC =>Triung. ABD dreptunghic in D, iar DM e mediana din unghi drept care e 1/2 din ipotenuza, =>DM=MA=MB =>triunghiul DAM isoscel
=> <(ADM) congr. <(MAD (*)
analog =>  <(NAD)congr.<(NDA)(**)
dar <(NDA)+<(MDA)=90 grade (***) pt. ca AD perp. BC din ipoteza
Din relatiile (*), (**), (***) => <(NDA)+<(MDA)=90grade,