Question

In triunghiul dreptunghic ABC, m(unghiului A)=90 grade, se stie ca AB+AC=radical din 3+ 2 radical din 6 si tg B=2 radical din 2.Determinati:
a).perimterul triunghiului ABC
b).aria triunghiului ABC
c).lungimea razei cercului inscris in triunghiul ABC

Answer 1

AB + AC = √3 + 2√6
tgB = AC/AB = 2√2  ⇒  AC = 2√2AB
 AB + 2√2AB = √3· (1+2√2)
AB(1+2√2) = √3·(1+2√2)  ⇒ AB = √3    AC = 2√6
BC² = AB² + AC² = 3 +24 = 27 ⇒ BC = 3√3
a) P= AB + BC + CA = √3 + 3√3 + 2√6 = 2√3·(2 +√2)
b)  A = AB·AC/2 = 6√2 /2 = 3√2
c) centrul cercului inscris intr-un Δ este in punctul de intersectie a bisectoarelor
fie I punctul de intersectie a bisectoarelor si IM = r _|_AB,  IN = r _|_AC,  IP = r_|_BC
deoarece laturile  Δ sunt tangente la cerc ⇒ AM = AN =r  MB = BP    CN = CP
AM + MB = AB   BP + PC = BC ⇒ AB + CN = BC + AN ⇒ AN - CN = AB - BC = -2√3

AN + CN = AC = 2√6      2AN = 2√6 - 2√3    AN = r = √3·(√2 - 1)