Question

in triunghiul dreptunghic ABC, masura unghiului A =90°, se duc inaltimea AD ( D€( BC)) si mediana AM, M € (BC). stiind ca AM =20 cm si m(<DAM) =30° (AC>AB), calculati inaltimea AD si laturile triunghiului ABC.

Answer 1

Fie [AD] inaltimea si [AM] mediana.
Intr-un tr. dr., mediana coresp ipotenuzei e jumatate din ipotenuza⇒AM=MC=BM⇒triunghiul AMC isoscel⇒∡MCA≡∡MAC
∡BAD≡∡MCA(sunt unghiuri cu laturile respectiv perpendiculare)
Cum m(BAD)+m(DAM)+m(MAC)=90grade
Inlocuind obtinem: 2*(m(MCA)=90-30
Rezulta m(MCA)=m(BAD)=60/2=30 grade.
Rezulta BA=BC/2=AM (intr-un triunghi, cateta pusa unghiului de 30 grade e jumatate din ipotenuza), deci triunghiul BAM e isoscel.
Dar m(BAM)=2*30=60 grade, de unde rezulta triunghiul BAM echilateral, deci BA=AM=20cm, iar inaltimea AD=AB√3/2=20√3/2=10√3cm.

BC=2BA(vezi mai sus)⇒BC=2*20=40cm.
In triunghiul ADC dreptunghic in D, avem m(c)=30 grade⇒AD=AC/2, de unde AC=2*10√3=20√3cm
Perimetrul lui ABC=AB+BC+AC=20√3+20+40=60+20√3cm
Aria lui ABC=AB*AC/2=20*20√3/2=200√3cm patrati.