Question

În triunghiul isoscel ABC cu (AB)=(AC) și m ( unghiului BAC) = 120 , fie D și E mijloacele laturilor (AC) , respectiv (BC) . Se construiește DM perpendicular BC , M aparține (BC) . DACĂ DM reunit AB = F demonstrați ca AEDF este romb

Answer 1

E este mijlocul laturii BC

D este mijlocul laturii AC

⇒ ED este linie mijlocie in ΔABC

⇒ ED || AB

⇒ ED || AF unde AF este o prelungire a lui AB

E este mijlocul laturii BC

AE este mediana si inaltime in triunghiul isoscel ABC

⇒ AE ⊥ BC

DM ⊥ BC din enunt

⇒ AE || DM

⇒ AE || DF unde DF este o prelungire a lui DM

Din: ED || AF si AE || DF ⇒ AEDF este paralelogram

deoarece are laturile paralele doua cate doua.

Pentru a demonstra ca "paralelogramul" este romb, trebuie sa aratam ca

doua laturi vecine sunt congruente.

∡B = ∡C = (180 - ∡A)/2 = (180 - 120)/2 = 60 / 2 = 30°

In triunghiul dreptunghic ABE avem:

AE este cateta care se opune unghiului de 30°

⇒ AE = AB / 2

ED este linie mijlocie in ΔABC (Am demonstrat mai sus in randul 3)

⇒ ED = AB / 2

⇒⇒⇒ AE ≡ ED unde AE si ED sunt laturi vecine in "paralelogramul" AEDF

⇒ "paralelogramul" AEDF are toate laturile congruente.

⇒ AEDF este romb.