Question

In triunghiul isoscel ΔABC, m(∡BAC)=120°.Construim pe laturile [AB] si [AC] (in exterior) triunghiurile echilaterale ΔABF si ΔACE.
a)Aratati ca punctele A,B si E sunt coliniare;
b)Aratati ca dreptele EC si BC sunt perpendiculare;
c)Demonstrati ca ΔCEB≡ΔBFC.

Answer 1

   
Desenul il gasesti in fisierul atasat.
Rezolvarea o fac aici.

a)
<BAC = 120°
<CAE = 60°  deoarece ΔACE este echilateral.
<BAE = <BAC + <CAE = 120° + 60° = 180°
⇒ Punctele A, B si E sunt coliniare.
Desi problema nu cere,  prin simetrie, facand aceeasi demonstratie, 
rezulta ca si punctele ACE sunt coliniare.

b)
ΔABC este isoscel cu <BAC = 120°
⇒ <ABC = <ACB = (180 - <BAC)/2 = (180 - 120) / 2 = 60 / 2 = 30°
<ACE = 60°  deoarece ΔACE este echilateral.
<ABF = 60°  deoarece ΔABF este echilateral.
⇒ <BCE = <ACB + <ACE = 30 + 60 = 90°
⇒ EC  ⊥  BC
Desi nu s-a cerut, prin simetrie rezulta:
⇒<CBF = <ABC + <ABF = 30 + 60 = 90°
⇒ FB  ⊥  BC

c)
Ne folosim de concluziile de la punctele celelalte:
BC = latura comuna a triunghiurilor  ΔCEB si ΔBFC
⇒ BC ∈ ΔCEB  si  BC ∈ ΔBFC

<BCE = <CBF = 90°  unde  <BCE ∈ ΔCEB  si  <CBF  ∈ ΔBFC

<CBE = <BCF = 30°   unde  <CBE ∈ ΔCEB  si  <BCF  ∈ ΔBFC

⇒ Suntem in cazul  ULU de congruenta.

⇒ ΔCEB ≡ ΔBFC