Question

In triunghiul isoscel ABC , unde [AB] congruent cu [AC] , bisectoarea unghiului ABC intersecteaza latura (AC) in punctual D. Daca triunghiul ABC este asemenea cu triunghiul BCD , determinati masurile unghiurilor triunghiului ABC

Answer 1

ABC triunghi isoscel cu AB AC congruente, inseamna ca unghiurile adiacente sunt congruente adica $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$(1)
Daca BD este bisectoarea unghiului ABC atunci avem relatia
$\widehat{CBD}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$(2)
Doua triunghiuri sunt asemenea daca au toate unghiurile egale. Observam ca unghiurle $\widehat{BCD}=\widehat{ACB}$

Asta inseamna ca restul unghiurilor trebuie sa fie egale intre ele
Observam ca datorita relatiei 2, unghiul CBD nu poate fi egal cu ABC, pentru ca e deja jumatate din el, atunci unghiul CBD este egal cu singurul unghi ramas BAC
$\widehat{BCD}=\widehat{BAC} \Rightarrow \widehat{BAC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}\Rightarrow \widehat{ABC}=2\widehat{BAC}$(3)

Toate unghiurile unui triunghi adunate doua 180 grade, atunci folosindu-ne de 1 si 3
$\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180 \Rightarrow \widehat{BAC}+2\widehat{BAC}+2\widehat{BAC}=180 \Rightarrow 5\widehat{ABC}=180 \Rightarrow \widehat{ABC}=\frac{180}{5}=36$
Atunci
$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=2\widehat{BAC}=72$