Question

In triunghiul MNP se construiește MQ_|_ NP,Q€(NP).Dacă [NQ]congruent [PQ],demonstrați ca [MN]congruent[MP]

Answer 1

Ipoteză:                                           Concluzie:

ΔMNP                                                [MN] ≡ [MP]

MQ ⊥ NP,  Q ∈ (NP)

[NQ] ≡ [PQ]


Demonstrație:

Metoda I (cea mai simplă)

Dacă [NQ] ≡ [PQ]   ⇒  Q - mijlocul segmentului [PN]  (1)

Iar   MQ ⊥ NP  (2)


Din (1) și (2)  ⇒ Înălțimea coincide cu mediana dusă din același vârf

                       ⇒ ΔMNP - isoscel    ⇒ [MN] ≡ [MP]



Metoda II (necesită mai mult timp):


Dacă MQ ⊥ PN   ⇒  ΔMQN  și  ΔMQP - dreptunghice

  [MQ] ≡ [MQ]   - latură comună (1)

  [NQ] ≡ [PQ]   - din ipoteză (2)


Din (1) și (2), conform cazului de congruență catetă-catetă (c.c) al triunghiurilor dreptunghice,

      ⇒ ΔMQN  ≡ ΔMQP  

Dacă catetele sunt congruente, ipotenuzele sunt respectiv congruente.

      ⇒ [MN]  ≡  [MP]


!!Notă: Urmărește figura din atașament.

Answer 2

 MQ_|_ NP => ΔMNQ si ΔMPQ -dreptunghice

MQ ≡ MQ (comuna)
∡MQN ≡ ∡MQP (90°) => (C.C.) => ΔMNQ si ΔMPQ => MN ≡ MP
MQ ≡ QN