Question

În triunghiul obtuzunghic ABC,cu [AB]congruent[AC],se constriuesc mediatoarele EM şi FN ale laturilor [AB] respectiv E € [AB],F € [AC] M,N € BC.
Fie ME interesctat cu NF={O}. Demonstraţi:
a)[EM]congruent[FN]
b)triunghiul OBC- isoscel
c)AO este mediatoarea lui [BC]
d)AO este mediatoarea segmentului[EF]

Answer 1

-triunghiurile CFN si BEM sunt congruiente (u.l.u):
BE=1/2AB=1/2AC=FC
m(b)=m(C) (ABC isoscel)
m(F)=m(E)=90

trasam AO
triunghiurile OAF=OCF(OF comuna, unghiurile din F egale cu 90 si AF=FC) deci OC=OA
la fel se arata si ca OB=OA deci OBC isoscel

COA si BOA sunt isoscele si congruente (l.l.l), deci si EOA si FOA sunt congruente, deci unghiurile din A sunt egale, deci AO este si bisectoare, care intr-un triunghi isoscel cum este ABC, va fi si mediatoare pentru BC

FE linie mijlocie in ABC deci este paralela cu BC. In acest caz AO perpendiculara pe EF. Fie k intersectia lui FE cu AO
triunghiurile KEA si KFA sunt congruente (AK-comuna; AE=AF; unghiurile din A corespunzatoare sunt egale)
Atunci AO mediatoare ptr. EF