Question

In triunghiul PQR, H este ortocentrul, Iar bisectoarea unghiului P int inaltimile din R si Q in punctele E si F. Dem ca triunghiul HEF isoscel

Answer 1

notam picioarele inaltimilor din cele 3 puncte cu A,B si C asadar avem inaltimile PA,QB si RC
notam bisectoarea din P cu PD. PD bisectoare atunci
$\angle{DPR}=\angle{QPD}$(1)
stim ca in unghiul B avem unghi de 90 grade caci FB face parte din QB care este perpendiculara pe AC
$\angle{PBF}=90$ atunci al treilea unghi din triunghiul dreptunghic PBF este
$\angle{PFB}=90-\angle{FPB}=\angle{EFH}$(2)
Stim de asemenea ca EC este perpendicular pe AB, din moment ce face parte din inaltimea RC
$\angle{ECP}=90$ decio triunghiul ECP este dreptunghic si 
$\angle{CEP}=90-\angle{CPE}=90-\angle{QPD}$(3)
Din 1,2,3 rezulta atunci ca
$\angle{CEP}=\angle{EFH}$
stim ca bisectoarea PD si inaltimea RC se intersecteaza in E, atunci unghiurile de-o parte si de alta a lui E sunt opuse la varf si congruente
$\angle{CEP}=\angle{DER}=\angle{FEH}$
din ultimele 2 relatii rezulta ca
$\angle{EFH}=\angle{FEH}$ deci triunghiul EFH are 2 unghiuri congruente de unde rezulta ca este isoscel