Question

In varful B al triunghiului echilateral ABC se ridica perpendiculara BM ⊥(ABC) astfel incat BM=4 cm. Stiind ca d(M;AC)=8 cm, calculati:
a) AB
b) lungimea proiectiei segmentului [BM] pe planul (MAC)

Answer 1

a)Notam cu MN = d(M,AC) = 8 cm
MB ⊥ (ABC)
BN ⊂ (ABC) 
=> MB ⊥ BN
In triunghiul MBN dreptunghic aplicam teorema lui Pitagora:
MN² = MB²+BN² => 64 = 16 + BN²=> BN²=48=> BN = 4√3 cm
Avand MB ⊥ (ABC) si MN⊥AC => BN⊥AC(Prima reciproca a T.3⊥)
[BN] este inaltime in triunghiul ABC echilateral => BN = $\frac{l\sqrt{3}}{2}$
=> l√3/2=4√3=>l√3=8√3 => AB = 8 cm
b)Construim BP⊥MN.
BP⊥MN
MN⊥AC
MN,AC⊂(MAC)
BN⊥AC
=> BP⊥(MAC)(a 2-a reciproca a T.3⊥)
$pr_{(MAC)}BM=MP =\ \textgreater \ MP = BM * cos(\ \textless \ BMN)$
In triunghiul BMN dreptunghic: cos(BMN)=BM/MN => cos(BMN)=4/8=> 
=> cos(BMN)=1/2
=> MP = 4 * 1/2 => MP = 2 cm