Question

Inel comutativ(cls XII-a). A4

Answer 1

pt ca o multime dotata cu 2 operatii sa fie inel comutativ trebuie ca casta
sa fie
1)grup comutativ fata de operatia aditiva
2) monoid (semigrup) comutativ (asociativitate, element neutru, comutativitate) fata de operatia multiplicativa)
 3) operatia multiplicativa sa fie distributiva fata de operatia aditiva

1) nu o mai demonstram ( C, +) este grup comutativ in care 0+0i este element neutru, si -a -bi element simetric
adunarea a fost studiat in R si extinsa in C, la studiul numerelor complexe, nu reluam
 
2 ) Pentru a doua lege am folosit semnul grafic "¬" pentru ca nu am gasit in casuta  "Omega" a boxei de rezolvari, semnul folosit in manualul fotografiat de cel ce cere rezolvarea

verificam daca "¬" este lege de compozitie interna
fie x=a+bi si
 y=c+di
z=e+fi
x¬y=xy+bd= (ac-bd) + (ad+bc) i+bd=ac+ (ad+bc) i∈C
 asociativitatea
(x¬y)¬z=[ac+ (ad+bc) i]¬ ( e+fi)=ace+(acf+e(ad+bc))i=ace+(acf+ade+bce)i

x¬(y¬z)=(a+bi)¬(ce+(ed+cf)i)= ace + (a(ed+cf)+bce)i=ace+ (ade+acf+bce)i

deci " ¬" asociativa
cautam elementul neutru, fie acesta n+ni
(a+bi)¬(n+mi)=an+ (am+bn)i=a+bi
egaliand partile reala si imaginara, obtinem
a=an
am+bn=b
de unde n=1, m=0
deci elementul neutru este 1+0i=1

comutativitatea iese imediat, datorita comutativitatii inmultirii numerelor reale  Im (x) si Im ( y )
xy+Im (x)* Im(y)= yx+Im(y)*Im(x)

3) distributivitatea  "¬" fata e '+"
x¬(y+z) de comparat cu (x¬y) +(x¬z)

(a+bi)¬( (c+e)+(d+f)i)= a(c+e)+ (a(d+f)+b(c+e))i= ac+ae + (ad+af+bc+be)i

x¬y+x¬z= (a+bi)¬(c+di) +(a+bi)¬(e+fi)=
                 =ac + (ad+bc) i +ae + (af+be)i= ac+ae+ (ad+bc+af+be) i

se observa ca sunt egale deci "¬" este distributiva fata de "+"
Celev3 cerinte fiind indeplinite, rerzulta ca
(C, ⊥,¬) formeaza un inel comutativ

b) elemente inversabile; este esigur vorba de ea de a doua operatie, la prima , '+", toate elementele fiind inversabile

tebuie sa cautam elementele inversabile, exckluizand pe 0 +0i, elementul neutru la adunare

(a+bi) ¬( a'+b'i)=1+0i (elementul neutru determinat in sectiunea de lucru a) puctul 2

deci aa'+(ab'_a'b)i=1+0i
 de aici aa'=1 (1)
 si a'b+ab'=0 (2)
sistem in care asi b sunt considerate cunoscute, iar a'si b' trebuie determinate
 din (1) reiese imediat a'=1/a de i a≠0
din  (2)reiese b'=-a'b/a=-b/a²
 deci a'+b'i= 1/a-(b/a²) i
ceea e arat ca sunt inversabile toate numerel a+bi care au a≠0, adica toate care au parte reala nenula deci numerele pur reale si numerel complexe care nu sunt pur imaginare
 Sunt inversabile z∈C\(C\R)
mai simplu ; sunt inversabile numerele complexe mai putin numerele pur imaginare si desigur , dintre numerele reale mai putin 0+ ( adica elementul neutru de la adunare, 0+0i, conditie cuprinsa ata in definitia inversului in inel/corp, cat si in calculul concret pt acest exercitiu ca 0 =0+0i are a=0)