Question

integrala de la 0la 1 din x/x+1 dx= ?

Answer 1

                         x                :          x + 1 
                         -x - 1                       1=intreg 
              --------------------
                         /      rest = -1  

x : x + 1   = 1  - 1 /(x +1) 
∫[1   -   1 / ( x +1) ]dx = x  - ln(x +1) 
= 1 - ln2  = ln e - ln 2 = ln e /2

Answer 2

$\int\limits^1_0 { \frac{x+1-1}{x+1} dx=$

[tex] \int\limits^1_0 { \frac{x+1}{x+1} dx - \int\limits^1_0 { \frac{1}{x+1} dx = [/tex]

Calculam a doua integrala prin schimbare de variabila !!

[tex] \int\limits^1_0 { \frac{x}{x+1} } \, dx = x+1=t (x+1)`dx=t`dt dx=dt[/tex]

x=0 >>> t=1

x=1=>> t=2

$\int\limits^2_1 { \frac{1}{t} } \, dt = ln |t| = ln2-ln1=ln2$

Prima integrala >>
$\int\limits^1_0 { \frac{x+1}{x+1} dx= \int\limits^1_0 { dx= x = 1$


$\int\limits^1_0 { \frac{x+1}{x+1} dx - \int\limits^1_0 { \frac{1}{x+1}dx= 1-ln2$