Question

Integrala definita.

Answer 1

Explicație pas cu pas:

Teorie:

Formulele pe care le vom aplica in ambele integrale sunt:

• $\int {[f(x)\pm g(x)]} \, dx =\int {f(x)} \, dx \pm \int {g(x)} \, dx$, unde f(x) si g(x) sunt functii
• $\int {\alpha f(x)} \, dx =\alpha * \int {f(x)} \, dx$, unde f(x) este o functie, iar α este o constanta reala

• $\int {\alpha} \, dx =\alpha x+C$, unde α este o constanta reala
• $\int {\frac{1}{x}} \, dx =ln|x|+C$, cu conditia ca x≠0 (intrucat numitorul unei fractii trebuie sa fie diferit de 0)
• $\int {\frac{1}{ax+b}} \, dx =\frac{1}{a}*ln|ax+b|+C$, cu conditia ca ax+b≠0 (pentru existenta fractiei), dar si ca a≠0 (pentru existenta functiei de grad I, dar si pentru existenta fractiei) relatia (*)
• $\int\limits^b_a {f(x)} \, dx =F(x)|^b_a=F(b)-F(a)$, unde F(x) este primitiva functiei f(x), a,b sunt capete de integrare reale (formula fiind recunoscuta si sub denumirea de Formula Leibniz-Newton).

Precizare: La integrala definita, +C dispare si este inlocuit de calcul propriu zis, intrucat aflam valoarea exacta a integralei, nu o familie de primitive.

Demonstram relatia (*):

$I=\int {\frac{1}{ax+b}} \, dx$, evident cu conditiile de existenta mentionate

Facem schimbarea de variabila:

$ax+b=t\\a dx=dt\\dx=\frac{1}{a}dt$

Atunci I devine:

$I=\int {\frac{1}{t}*\frac{1}{a}} \, dt=\frac{1}{a} \int {\frac{1}{t}} \, dt=\frac{1}{a}ln|t|+C\\I=\frac{1}{a}ln|ax+b|+C$

Integrala 1:

$\int\limits^0_{-1} {(1+\frac{3}{3x-1})} \, dx =\int\limits^0_{-1} {1} \, dx+\int\limits^0_{-1} {\frac{3}{3x-1}} \, dx=\int\limits^0_{-1} {1} \, dx+3*\int\limits^0_{-1} {\frac{1}{3x-1}} \, dx=x|^0_{-1}+3*\frac{1}{3}*ln|3x-1|~|^0_{-1}=0-(-1)+ln|3*0-1|-ln|3*(-1)-1|=1+ln|-1|-ln|-4|=1+ln1-ln4=1+0-ln4=1-ln4$

Integrale 2:

$\int\limits^4_1 {[\frac{1}{2}-\frac{1}{2(2x+1)}] \, dx =\int\limits^4_1 {\frac{1}{2} \, dx -\int\limits^4_1 {\frac{1}{2(2x+1)} \, dx =\frac{1}{2}x|^4_1-\frac{1}{2}*\frac{1}{2}ln|2x+1|~|^4_1$ $=\frac{1}{2}*4-\frac{1}{2}*1-\frac{1}{4}ln|2*4+1|+\frac{1}{4}ln|2*1+1|=2-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}ln9+\frac{1}{4}ln3=\frac{3}{2}+\frac{1}{4}ln(\frac{3}{9})=\frac{3}{2}+\frac{1}{4}ln(\frac{1}{3})=\frac{3}{2}+\frac{1}{4}ln3^{-1}=\frac{3}{2}-\frac{1}{4}ln3$