Question

Integrala din e^(-x) * sin x dx

Answer 1

Explicație pas cu pas:

$I = \int {e}^{ - x} \sin(x)dx$

$\int fg' = fg - \int f'g$

$f = \sin(x); \: \: g' = e^{ - x}$

și

$f' = \cos(x); \: \: g = - e^{ - x}$

=>

$I = - {e}^{ - x} \sin(x) - \int - {e}^{ - x} \cos(x) dx$

$f = \cos(x); \: \: g' = - e^{ - x}$

și

$f' = - \sin(x); \: \: g = e^{ - x}$

=>

$I = - {e}^{ - x} \sin(x) - ({e}^{ - x} \cos(x) - \int - {e}^{ - x} \sin(x) dx ) \\= - {e}^{ - x} \sin(x) - ({e}^{ - x} \cos(x) + \int {e}^{ - x} \sin(x) dx )\\= - {e}^{ - x} \sin(x) - {e}^{ - x} \cos(x) - I$

=>

$2I = - {e}^{ - x} \sin(x) - {e}^{ - x} \cos(x) \\ I = \frac{ - {e}^{ - x} \sin(x) - {e}^{ - x} \cos(x)}{2}$

=>

$\int {e}^{ - x} \sin(x)dx = \\ = - \frac{{e}^{ - x} \sin(x) + {e}^{ - x} \cos(x)}{2} + C$