Question

Integrala din x*arctgx/(1+x^2)^2. Nu e necesara rezolvarea completa, ci ideea.

Answer 1

Integrăm prin părți, cu notația:

$f(x)=arctgx; f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$

$g'(x)=\dfrac{x}{(1+x^2)^2};\ \ g(x)=-\dfrac{1}{2(1+x^2)}$  și obținem:

$I=\displaystyle\int\dfrac{xarctgx}{(1+x^2)^2}dx=-\dfrac{arctgx}{2(1+x^2)}+\dfrac12\displaystyle\int\dfrac{1}{(1+x^2)^2}dx$

Notăm ultima integrală cu J și o calculăm astfel:

$J=\displaystyle\int\dfrac{1+x^2-x^2}{(1+x^2)^2}dx=\displaystyle\int\left(1-\dfrac{x^2}{(1+x^2)^2}\right)dx=x-K$

Pe integrala K o calculăm astfel:

$K=\displaystyle\int\dfrac{x\cdot x}{(1+x^2)^2}dx=-\dfrac{x}{2(1+x^2)}+\dfrac12\displaystyle\int\dfrac{1}{1+x^2}dx$

Aici am folosit integrarea prin părți, cu notația:

$f(x)=x;\ \ f'(x)=1$

$g'(x)=\dfrac{x}{(1+x^2)^2};\ \g(x)=-\dfrac{1}{2(1+x^2)}$

Cu indicațiile acestea s-a cam terminat de calculat.  OK?