Question

integrala( x+arcsin x)

Answer 1

$\int\limits{(x+arcsinx)} \, dx = \int\limits {x} \, dx+ \int\limits {arcsinx} \, dx$

A doua o integram prin parti : f=arcsinx  --> f'=$\frac{1}{ \sqrt{1- x^{2} } }$
          
                                                g'=1          -->g=x
deci I =[tex] \frac{ x^{2} }{2} +(f*g- \int\limits {g*f'} \, dx)= \frac{ x^{2} }{2}+x*arcsinx - \int\limits { \frac{x } { \sqrt{1- x^{2} } } } \, dx =
[tex]\frac{ x^{2} }{2}+x*arcsinx+ \int\limits { \frac{(1- x^{2} )'}{2 \sqrt{1- x^{2} } } } \, dx = \frac{ x^{2} }{2}+x*arcsinx + \frac{1}{2} \sqrt{1- x^{2} } +C [/tex]