Question

Integrale tip bac punctul c) poza

Answer 1

Răspuns

Aplici criteriul clestelui.

Explicație pas cu pas:

$\displaystyle\limit\lim_{n\to \infty} \int\limits_{1}^{e} \dfrac{f(x)}{x^n}dx=\limit\lim_{n\to \infty} \int\limits_{1}^{e} \dfrac{\ln x}{x^{n+1}} dx\\ \text{Stim ca functia logaritm natural este strict crescatoare,ceea ce inseamna}\\\text{ca pentru }x\in [1,e] , \ln x\in [0,1].\\\text{Din proprietatea de monotonie a integralei rezulta ca :}\\0\leqslant \int\limits_{1}^{e} \dfrac{\ln x}{x^n} dx \leqslant \int\limits_{1}^{e} \dfrac{1}{x^n} dx$

$\text{Dar stim ca }\int\limits_{1}^{e} \dfrac{1}{x^n} dx =\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{e^{1-n}}{n-1}, \text{de unde prin trecere la limita}\\ \text{ se obtine 0.} \\\text{Din criteriul clestelui rezulta ca limita ceruta este 0.}$