Question

într-o piramida patrulateră regulata înălțimea este egală cu 
12 \sqrt{3}123​ 
cm
cm iar latura bazei este egală cu 
8 \sqrt{3}83​ 
cm
sa se afle 
1. apotema piramidei 
2. muchia laterală a piramidei
3.volumul și aria totală a piramidei 

Answer 1

Ipoteză

VABCD piramidă patrulateră regulată

h=12 cm

AB=BC=8 cm

Concluzie

a) apotema piramidei

b) muchia laterală (VA, VB)

c) V=?

At=?

Rezolvare

Desenul este ataşat mai jos

VABCD piramidă patrulateră regulată => baza este pătrat iar feţele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente.

Fie VO ⊥ (ABC), unde O este centrul bazei ABCD => h=VO=12 cm

ABCD bază => AB=BC=CD=AD= 8 cm

a) Fie M mijl. [BC].

ΔVBC isoscel

[BC] bază ==> [VM] înălţime => apotema piramidei=VM

[VM] mediană                             VM ⊥ BC => m(∡VMB)=90°

O vom scoate pe [VM] din triunghiul VOM dreptunghic.

VO ⊥ (ABC)

OM ⊂ ( ABC) ==> VO ⊥ OM => m(∡VOM)=90°

ΔVOM                 T.P ( Teorema lui Pitagora)

m(∡VOM)=90° ========================> VM²=VO²+OM²

ABCD pătrat

{O}= AC∩ BD ==> O mijl.[AC]

M mijl.[BC] ==> [OM] l.m în ΔABC => OM ║ AB

OM= AB/2=l/2=8 cm/2

=> OM=4 cm

VM²=12²+4²

VM²=144+16

VM²=160

VM=√160=4√10 cm => apotema piramidei= 4√10 cm

b) muchia laterală= VA=VB=VC=VD

O vom afla pe VB din triunghiul dreptunghic VMB

ΔVMB              T.P

m(∡VMB)=90° ==> VB²=VM²+MB²

M mijl. [BC] => MB=MC=BC/2=l/2=8 cm/2 => MB=4 cm

VB²= (4√10)²+4²

VB²=160+16

VB²=176

VB=√176=4√11 cm => VA=VB=VC=VD=4√11 cm

c) V= Ab*h/3

Ab=A ABCD

A ABCD = AB²= l²

A ABCD=8²=64 cm² => Ab=64 cm²

V=64*12/3

V=768/3

V=256 cm³

At= Al+Ab

At= aria totală a piramidei

Al= aria laterală a piramidei

Ab= aria bazei

Al= Pb*ap/2

Pb= perimetrul bazei

ap= apotema piramidei

Pb=P ABCD

P ABCD= 4*AB=4*l=4*8cm => P ABCD=32 cm => Pb=32 cm

Al=32*4√10/2

Al=128√10/2

Al=64√10 cm²

At=( 64√10+64 ) cm²

At= 64( √10+1 ) cm²

Sper că te-am ajutat !

Answer 2

Salut,

Fie piramida patrulatera regulata VABCD;

VO-inaltimea;

VM-apotema;

OM=1/2*AB;

OM=(8√3)/2=4√3(cm);

VM²=VO²+OM²;

VM=√(VO²+OM²);

VM=√((12√3)²+(4√3)²)

VM=√(432+48)=√480=4√30(cm);

AC=AB*√2;

AC=8√3*√2=8√6(cm);

AO=1/2*AC;

AO=(8√6)/2=4√6(cm);

AV-muchia laterala;

AV²=VO²+AO²;

AV²=(12√3)²+(4√6)²

AV²=432+96

AV²=528

AV=√528

AV=4√33(cm);

V=Ab*h/3;

Ab=a²;

Ab=(8√3)²=192(cm²);

V=(192*12√3)/3=(2304√3)/3=768√3(cm³);

At=Al+Ab;

Al=Pb*ap/2;

Pb=4a;

Pb=4*8√3=32√3(cm);

Al=(32√3*4√30)/2=(128√90)/2=64√90(cm²);

At=(64√90+192)cm²;

Vezi desenul mai jos.

Bafta!