Question

Într-o piramidă patrulateră regulată, latura bazei este egală cu 16 cm, iar măsura unghiului diedru format de o față laterală cu planul bazei este de 60°.
Calculaţi:
a) volumul şi aria totală ale piramidei;
b) sinusul unghiului diedru format de două fețe laterale alăturate;
c) sinusul unghiului format de două muchii laterale opuse ale piramidei.​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

teoreme si formule pt rezolvarea problemei:

unghi diedru

teorema lui pitagora

functii trigonometrice

teorema unghiului de 30⁰

Formula Aria totala si Volum

Prin teorema unghiului diedru deducem că (VBC) intersectează planul bazei în BC

VD _|_ BC si DO _|_ BC

DO intersectează VD în D rezulta de aici ca

a) unghiul dintre VBC si planul bazei este unghiul VDO unde VD este apotema piramidei iar DO este apotema bazei. Ne zice ca unghiul asta are 60⁰ iar triunghiul VOD e drept cu măsura unghiului O de 90⁰ deci unghiul OVD are 30⁰. Dacă OVD =30⁰ reiese că latura opusă OD=VD/2. Dar OD e apotema bazei si stim ca apotema bazei patrate e l/2 iar latura bazei e 16 deci OD=16/2=8cm. OD=VD/2 adica 8=VD/2 deci VD = 16 cm.. am aflat apotema piramidei.

Aria totala formula= Aria laterala + A baza

aria laterala într-o piramida reg = Perimetrul bazei înmulțit cu apotema piramidei supra 2

aria bazei = l² (baza e patrat)

Aria totala = (4•16 •16) :2 + 16²= 1024/2 + 256

= 512 + 256 = 768cm².

Volumul e egal cu aria bazei inmultita cu inaltimea piramidei , totul supra 3

trebuie să aflam înălțimea din triunghiul drept VOD cu teorema lui pitagora OD²+VO²=VD²

8²+VO²=16² deci VO² = 256-64 = 192 iar VO este radical din 192= 8 radical din 3

Volumul =( l²• 8 radical din 3):3 =(256•8 radical din 3):3 = 2048 radical din 3 supra 3.

c) ne cere sin unghiul dintre doua muchii laterale opuse

adică unghi dintre (VA si VC )=?

Triunghiurile VOA si VOC sunt 2 triunghiuri dreptunghice isoscele asemenea cu VA=VC (muchiile lat. în piramida regulata) si AO=OC =AC/2 ( ambele sunt jumatate din diagonala) deci daca unghiul VAO= VCO= 45⁰ inseamna ca in triunghiul VAC unghiul AVC are 90⁰ deci sin unghi AVC = 1

Nu am reusit sa fac b) dar sper ca te-am ajutat :)