Question

Într-o piramidă patrulateră regulată VABCD, măsura unghiului format de muchia laterală VA cu planul (ABC)este de 600 , iar latura bazei este egală cu 6 cm.
a) Arătați că muchia laterală are lungimea egală cu 6√2 cm.
b) Arătați că proiecția lui O, centrul pătratului ABCD, pe planul (VBC) este ortocentrul triunghiului VBC.

Answer 1

a.

∡(VA,(ABC))=∡VAC=60°

AB=6 cm

VA=VC (muchii piramida)

∡VAC=60°⇒ ΔVAC echilateral

VA=VC=AC

AC=l√2

AC=6√2 cm

VA=6√2 cm

b.

Fie VM apotema piramidei

Aplicam Pitagora in ΔVMB

VB²=VM²+BM²

72=VM²+9

VM=3√7 cm

Fie ON⊥VM,

trebuie sa demonstram ca N este ortocentrul ΔVBC

OM=3 cm

In ΔVOM

VO²+OM²=VM²

63=VO²+9

VO=3√6 cm

OM²=MN×VM

9=MN×3√7

$MN=\frac{3\sqrt{7} }{7}$

Fie BT⊥VC si E=VM∩BT, E ortocentrul VBC

VM×BC=BT×VC

3√7×6=BT×6√2

$BT=\frac{3\sqrt{14} }{2}$

In ΔBTC, aplicam Pitagora

BC²=TC²+BT²

$TC^2=36-\frac{126}{4} =\frac{18}{4}\\\\ TC=\frac{3\sqrt{2} }{2}$

ΔBTC~ΔBME

$\frac{BT}{BM}=\frac{BC}{BE} =\frac{TC}{ME}$

$\frac{\frac{3\sqrt{14} }{2} }{3} =\frac{\frac{3\sqrt{2} }{2} }{EM}$

$EM=\frac{9\sqrt{2} }{2} \times \frac{2}{3\sqrt{14} } =\frac{3\sqrt{7} }{7}$

MN=EM⇒ E si N coincid⇒ N ortocentru