Question

Intr-un plan orizontal,din acelasi punct O pleaca simultan trei corpuri punctiforme care se misca uniform cu vitezele diferite v₁,v₂ si v.Directiile vitezelor v₁ si v₂ fac unghiurile α si ,resectiv ,β fata de directia vitezei v suprapusa pe axa Ox a reperului cartezian xOy in care se considera miscariile.Dupa un anumit timp t cele trei corpuri se afla in punctele A,B si M.Sa se determine viteza v a corpului din M (aflat pe absisa ) astfel incat suma patratelor distantelor acestui corp la celelalte doua (MA²+MB²) sa aiba valoarea minima si apoi sa se calculeze aceasta valoare de extrem.
Aplicatie numerica: v₁=4√3 m/s;v₂=4√2 m/s;α=30°;β=45° si t=5 s.

R: v=v*=5 m/s ; min[MA²+MB²]=750 m²

Answer 1

Răspuns:

Avem $OA=v_1t, OB=v_2t, OM=vt$.

In triunghiul OAM, avem $m(OAM)=\alpha$. Din teorema cosinusurilor,

$AM^2=OA^2+OM^2-2OA\cdot OM\cos\alpha$.

Similar $BM^2=OB^2+OM^2-2OB\cos OM\cos\beta$

$AM^2+BM^2=OA^2+OB^2+2OM^2 - 2OM(OA\cos\alpha+OB\cos\beta)= v_1^2t^2+v_2^2t^2+2v^2t^2 - 2vt(v_1t\cos\alpha+v_2t\cos\beta)=t^2(v_1^2+v_2^2+2v^2-2vv_1\cos\alpha-2vv_2\cos\beta).$

Functia

$f(x)=2x^2-2x(v_1\cos\alpha+ v_2\cos\beta)+v_1^2+v_2^2$ are minimul in $x_0=(-b/2a)=\frac{1}{2}(v_1\cos\alpha+v_2\cos\beta)$ si valoarea minima $f(x_0)=(-\Delta/4a)=-\frac{1}{2}((v_1\cos\alpha+v_2\cos\beta)^2-2v_1^2-2v_2^2) = \frac{1}{2}(v_1^2(1+\sin^2\alpha)+v_2^2(1+\sin^2\beta) - 2v_1v_2\cos\alpha\cos\beta)$.

Dar $x_0=v$, iar distanta minima este $t^2f(v)$.

Pentru $v_1=4\sqrt 3, v_2=4\sqrt 2,\alpha=30^o, \beta=45^o$, avem

$v=\frac{1}{2}(4\sqrt 3\cos(30)+4\sqrt 2\cos(45))=\frac{1}{2}(4\sqrt 3\frac{\sqrt 3}{2}+4\sqrt 2\frac{\sqrt 2}{2})=\frac{1}{2}(6+4)=5(m/s).$

Distanta minima este $d=\frac{1}{2}(v_1^2(1+\sin^2\alpha)+v_2^2(1+\sin^2\beta) - 2v_1v_2\cos\alpha\cos\beta)\cdot t^2=\frac{1}{2}( (1+\frac{1}{4})(4\sqrt 3)^2 + (1+\frac{1}{2})(4\sqrt 2)^2 - 2(4\sqrt 3)(4\sqrt 2)\frac{\sqrt 3}{2}\frac{\sqrt{2}}{2})\cdot 5^2 =\frac{1}{2}( \frac{5}{4}\cdot 48 + \frac{3}{2}\cdot 32 - 8\cdot 6)\cdot 25 = \frac{1}{2}(60+48-45)\cdot 25 = 30\cdot 25 = 750(m^2)$.