Question

intr.un romb ABCD , de centru O , cu latura de 13 cm , lungimea proiectiei segmentului AO pe AB este egala cu 9 cm. Aria rombului este egala cu ?

Answer 1

Sa ne concentram pe triunghiul AOB. Stim ca acest triunghi este dreptunghic, pentru ca O este la intersectia diagonalelor, si diagonalele unui romb sunt perpendiculare. AO si OB sunt segmente din diagonale, asa ca $\angle{AOB}$=90

Proiectia unui segment MN pe un segment PQ inseamna sa trimiti drepte din punctele A si B care sa fie perpendiculare pe PQ si la intersectia cu PQ sa zicem ca s-ar forma intersectiile E si F. Atunci EF este proiectia lui MN pe PQ

In cazul nostru, A este deja pe ambele drepte, asa ca ducem inaltimea din O pe AB si o notam cu M. deci proiectia obtinuta este AM=9, si $\angle{AMO}=90$ Atunci tringhiul AMO este dreptunghic cu AO fiind ipotenuza.

Apoi daca ne uitam in triunghiurile AMO si AOB ambele sunt dreptunghice, cu o latura comuna AO si cu un unghi comun $\angle{OAB}=\angle{OAM}$ deci cele doua triunghiuri sunt congruente, de unde rezulta ca:
$\angle{AOM}=\angle{ABO}$ Atunci $\sin{AOM}=\sin{ABO}$ adica
$\frac{AM}{AO}=\frac{AO}{AB}$ deci
$AO^{2}=AM*AO=9*13$ de unde rezulta ca
$AO=3\sqrt{13}$
AOB este triunghi dreptunghic, deci putem aplica teorema lui Pitagora sa aflam si pe OB
$OB^{2}=AB^{2}-OA^{2}=13*13-9*13=4*13$ deci
$OB=2\sqrt{13}$

Diagonalele unui romb se intersecteaza la jumatatea lor, deci
$AC=2OA=2*3\sqrt{13}=6\sqrt{13}$
$BD=2OB=2*2\sqrt{13}=4\sqrt{13}$

Aria nui romb este produsul diagonalelor pe doi
$A_{romb}=\frac{AC*BD}{2}=\frac{6\sqrt{13}*4\sqrt{13}}{2}=12*13=156$