Question

Într-un sistem ortogonal de axe se dau punctele : A(1 ,1) B(-1,1) C(-1,-1) D(1,-1). arătați că ABCD este pătrat .

Answer 1

diagonalele patrulaterului sunt AC si BD. Sa vedem care sunt mijloacele celor 2 diagonale le notam M si N.
M este mijlocul segmentului format din punctele A(1,1) si C(-1,-1) atunci M va avea coordonatele
$x_{M}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}=\frac{1+(-1)}{2}=0$
$y_{M}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}=\frac{1+(-1)}{2}=0$
deci M(0,0)
N este mijlocul segmentului format din punctele B(-1,1) si D(1,-1) atunci N va avea coordonatele
$x_{N}=\frac{x_{B}+x_{D}}{2}=\frac{(-1)+1}{2}=0$
$y_{N}=\frac{y_{B}+y_{D}}{2}=\frac{1+(-1)}{2}=0$
deci N(0,0) Dar observam ca M si N au exact aceleasi coordonate, deci sunt acelasi punct, sa-l notam cu O
Atunci M=N=O, deci diagonalele patrulaterului ABCD se injumatatesc in punctul O. Un patrulater care are aceasta proprietate este un paralelogram.
Acum sa calculam care este dimensiunea segmentelor AC si BD.
pentru AC avem
$AC=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^{2}}=\sqrt{(-1-1)^{2}+(-1-1)^{2}}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$
pentru BD avem
$BD=\sqrt{(x_{D}-x_{B})^2+(y_{D}-y_{B})^{2}}=\sqrt{(1-(-1))^{2}+(-1-1)^{2}}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$
De aici vedem ca AC=BD. Un paralelogram care are diagonalele congruente este un dreptunghi.
Ne uitam acum la triunghiul AOD. Stim ca O este mijlocul celor doua diagonale AC si BD. Atunci stim ca
$AO=\frac{AC}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$
$OD=\frac{BD}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$
Calculam si care este dimensiunea segmentului AD
$AD=\sqrt{(x_{D}-x_{A})^2+(y_{D}-y_{A})^{2}}=\sqrt{(1-1)^{2}+(-1-1)^{2}}=\sqrt{0+4}=2$
Atunci observam urmatoarea relatie in triunghiul AOD
$AO^{2}+OD^{2}=2+2=4=AD^{2}$ dar relatia respectiva este teorema lui Pitagora aplicata intr-un triunghi dreptunghic in care AO si OD sunt catete si AD este ipotenuza.
Atunci triunghiul este drept in O deci $\angle{AOD}=90$ deci AO perpendicular pe OD adica si AC perpendicular pe BD.
Ei bine un dreptunghi in care diagonalele sunt perpendiculare este un patrat, deci ABCD este patrat.

Answer 2

Cu formula distantei intre 2 puncte se calculeaza imediat
AB=√2²=BC=CD=DA=2
sau
si mai simplu, avand in vedere ca pe cate o coordonata valorile sunt constante, prin simplul modul al diferentelor pe celelalte coordonate
de exemplu
AB=|1-(-1)|=2

 deci ABCDromb

darAB||Ox (coord pe y constanta)
si BC ||Oy (coord pe x constanta)
Ox⊥Oy(axe de coordonate carteziene)
deci AB⊥BC
ABCD romb cu un unghi drept, ABCD patrat

C.C.T.D.
As simple as that!!
 

Extra
cele 4 puncte reprezinta simetriile fata de axele Ox si Oy si punctul O (si, pt clasa a12-a,  grupul Klein)