Question

intr-un sistem ortogonal de axe se dau punctele:A(1, 1) ;B(-1, 1) ;C(-1, -1) ;D(1, -1) Aratati ca ABCD este patrat.
VA ROG SI DESEN. CUM POATE FI FACUTA?!?! Sunt a 7-a si nu stiu dc ni-a dat-o.
Explicatia sa fie simpla ca sa O inteleg.
nici nu ne-a predat asa ceva.

Answer 1

Diagonalele patrulaterului sunt AC si BD. Sa vedem care sunt mijloacele celor 2 diagonale le notam M si N.
M este mijlocul segmentului format din punctele A(1,1) si C(-1,-1) atunci M va avea coordonatele


deci M(0,0)
N este mijlocul segmentului format din punctele B(-1,1) si D(1,-1) atunci N va avea coordonatele


deci N(0,0) Dar observam ca M si N au exact aceleasi coordonate, deci sunt acelasi punct, sa-l notam cu O
Atunci M=N=O, deci diagonalele patrulaterului ABCD se injumatatesc in punctul O. Un patrulater care are aceasta proprietate este un paralelogram.
Acum sa calculam care este dimensiunea segmentelor AC si BD.
pentru AC avem

pentru BD avem

De aici vedem ca AC=BD. Un paralelogram care are diagonalele congruente este un dreptunghi.
Ne uitam acum la triunghiul AOD. Stim ca O este mijlocul celor doua diagonale AC si BD. Atunci stim ca


Calculam si care este dimensiunea segmentului AD

Atunci observam urmatoarea relatie in triunghiul AOD
 dar relatia respectiva este teorema lui Pitagora aplicata intr-un triunghi dreptunghic in care AO si OD sunt catete si AD este ipotenuza.
Atunci triunghiul este drept in O deci  deci AO perpendicular pe OD adica si AC perpendicular pe BD.
Ei bine un dreptunghi in care diagonalele sunt perpendiculare este un patrat, deci ABCD este patrat.