Question

Intr-un triunghi cu o latura de lungime a si inaltimea corespunzatoare acestei h se inscrie un dreptunghi, astfel incit una dintre laturile sale este continuta de aceasta latura. Sa se afle aria maxima a dreptunghiului.

Answer 1

Avem BC = a, AJ = h Notam MN = y, QM = x In figura de mai sus avem PQ || BC => ΔAPQ ˜ ΔABC => PQ / BC = AQ / AB Dar AI si AJ sunt inaltimi in cele doua triunghiuri; inseamna ca si raportul dintre ele este egal cu raportul de asemanare dintre cele doua triunghiuri, adica PQ/BC=AI/AJ adica y/a=h-x/h =>y=a(h-x)/h Notam cu S - aria triunghiului ABC si cu Sdreptunghi - aria dreptunghiului MNPQ. Avem S(dreptunhi)=QM*MN=y*x=x*a(h-x)/h=a/h*[h²/4-(x-h/2)²]⩽ a/h*h²/4=a*h/4=S Maximul ariei se obtine atunci cand x = h/2, adica atunci cand PQ este linie mijlocie in triunghi. mijlocie in triunghi.