Question

intr un triunghi dreptunghic cunoastem inaltimea AD=12 SI IPOTENUZA BC=25 AFLATI PROIECTIILE BDsi DC

Answer 1

   
[tex]\displaystyle\\ \text{Aplicam terorema inaltimii.}\\\\ \begin{cases} BD+CD=BC\\ BD\times CD=AD^2 \end{cases}\\ \begin{cases} BD+CD=25\\ BD\times CD=12^2 \end{cases}\\ \begin{cases} BD+CD=25~~~~~\Longrightarrow~~\boxed{CD = 25 - BD} ~~\text{ (Substitutie)} \\ BD\times CD=144 \end{cases}\\\\\\ BD\times (25-BD)=144\\ 25BD - BD^2 = 144\\ -BD^2+25BD - 144=0~~~\Big|\times (-1)\\ BD^2 - 25BD + 144=0\\\\ BD_{12}= \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}= \frac{25\pm\sqrt{25^2-4\times 144}}{2}=\\\\ [/tex]


[tex]\displaystyle\\ = \frac{25\pm\sqrt{625-576}}{2}=\frac{25\pm\sqrt{49}}{2}=\frac{25\pm7}{2}\\\\ BD_1 = \frac{25+7}{2} =\frac{32}{2} =\boxed{16~cm}\\ CD_1 = 25 - BD = 25 - 16 = \boxed{9~cm}\\\\ BD_2 = \frac{25-7}{2} =\frac{18}{2} =\boxed{9~cm}\\ CD_2 = 25 - BD = 25 - 9 = \boxed{16~cm}\\\\ [/tex]

Answer 2

Fără a restrânge generalitatea, considerăm triunghiul ABC, dreptunghic în A,

cu AB < AC. Ducem înălțimea AD, cu D pe BC și, datorită ipotezei inițiale,

vom avea  BD < DC.

Notăm DC = x,  BD = y, BD < DC ⇒ y < x ⇒ x > y

Cu teorema înălțimii deducem xy = 144     (1).

BC = 25 ⇒  x + y = 25      (2)

(2) ⇒ (x+y)² = 25² ⇒ x² + 2xy + y² = 625     (3)

(1) ⇒ 4xy = 576        (4)

(3), (4) ⇒ x² + 2xy + y² -4xy = 625 - 576 ⇒ x² - 2xy + y² = 49 ⇒ 

⇒ (x - y)² = 7² ⇒ x - y = 7     (5)

(2), (5) ⇒ 2x = 32 ⇒ x = 16 ⇒ y = 9

Deci, vom avea  DC = 16 cm,  BD = 9cm