Question

Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea corespunzătoare ipotenuzei are 6 cm, iar ipotenuza 20 cm. Determinați lungimile catetelor triunghiului

Answer 1

Fie b și c,  lungimile celor două catete (b > c),  

a - lungimea ipotenuzei, h - lungimea înălțimii

corespunzătoare ipotenuzei.

h = bc/a ⇒ 6 = bc/20 ⇒ bc = 120    (1)

Cu teorema lui Pitagora, rezultă :

b² + c²  = 20² ⇒ b² + c²  = 400      (2)

Din relațiile (1), (2) se obțin:

(b+c)² = b² + c² +2bc = 400 + 240 = 640

(b - c)² = b² + c² - 2bc = 400 - 240 = 160

( b+ c)² / (b - c)² = 640/160 ⇒

⇒ ( b+ c)² / (b - c)² = 4 ⇒  (b+ c) / (b - c) =  2 ⇒

⇒  b+ c = 2b - 2c ⇒ b = 3c    (3)

(1), (3) ⇒ 3c·c = 120 ⇒ c² = 40⇒ c=√40 =

= √4·10= 2√10 cm     (4)

(3), (4) ⇒ b = 3·2√10 = 6√10 cm

Așadar, lungimile catetelor sunt:

6√10cm și 2√10 cm.