Question

Intr-un triunghi dreptunghic, se dau aria sa, S si unghiul ascutit alfa. Determinati distanta de la centril de greutate la ipotenuza.

Answer 1

O sa demonstram ca centrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic este mijlocul ipotenuzei
Sa presupunem ca avem triunghiul dreptunghic BAC cu A=90 grade precum cel din imagine.
Centrul cercului circumscris se afla la intersectia mediatoarelor din triunghi, asa ca hai sa le trasam
Mediatoarea laturii AB este MO, M este mijlocul laturii AB si MO este perpendiculara pe AB. Dar AC este si ea perpendiculara pe AB. Atunci MO este paralela cu AC, deci MO este linie mijlocie in triunghiul ABC si inseamna ca O se afla la mijlocul ipotenuzei BC
Ducem acum NP sa zicem, mediatoarea laturii AC. Din nou, N mijlocul lui AC, NP perpendiculara pe AC. AB este perpendiculara si ea pe AC. Deci NP paralela cu AB, N este si mijlocul lui AC, atunci NP este linie mijlocie in triunghi cu P mijlocul lui BC. Dar O este si el mijlocul lui BC, atunci inseamna ca segmentele MO si NP se intersecteaza chiar in capete si O este acelasi lucru cu P. Mai mult, mediatoarele sunt concurente, deci inseamna ca O este intersectia mediatoarelor, si AO va fi tot mediatoare si mediana in acelasi timp(caci O este mijlocul lui BC)
Dar O este centrul cercului circumscris triunghiului ceea ce inseamna ca razele vor fi egale
$OA=OB=OC=\frac{BC}{2}$
Deci mediana corespunzatoare ipotenuzei este jumatate din ipotenuza.
Acum, centrul de greutate G este pozitionat la o treime de baza din mediana, atunci
$OG=\frac{1}{3}*OA=\frac{BC}{6}$
Deci trebuie sa aflam ipotenuza in functie de arie si unghiul alfa
sa zicem ca acel unghi alfa este unghiul ascutit C
$C=\alpha$
Atunci stim ca
$\sin{C}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow AB=BC\sin{C}$
$\cos{C}=\frac{AC}{BC}\Rightarrow AC=BC\cos{C}$
Si mai stim ca aria este
$S=\frac{AB*AC}{2}=\frac{BC^{2}\sin{C}\cos{C}}{2}=\frac{BC^{2}\sin{2C}}{4}\Rightarrow BC=2\sqrt{S\sin{2C}}$ unde ne-am folosit de faptul ca
$\sin{2C}=2\sin{C}\cos{C}$
Atunci inlocuim mai departe si obtinem
$OG=\frac{BC}{6}=\frac{\sqrt{S\sin{2C}}}{3}$