Question

Într-un triunghi dreptunghic, se dau aria sa, S și unghiul ascuțit alfa. Determinați distanta de la centrul de greutate la ipoteza.

Answer 1

Fie ΔABC -> dreptunghic , m(∡ABC)=90° , m(∡BAC)=α

fie N mij [AC]

fie P mij [AB]

fie M mij [BC]

AM∩BN∩CP={G}

fie GR⊥AC=> d(G, AC)=GR

S=BC*AB/2

S=(AC*AB*sin∡BAC)/2

BC*AB/2=(AC*AB*sin∡BAC)/2 |:AB/2=>AC*sin∡BAC=BC=>AC=BC/sinα

In ΔABC, m(∡ABC)=90°=> (Teorema medianei in Δ drept.): BN=AC/2=BC/sinα/2=BC/2sinα

AN=NC=AC/2=BC/sinα/2=BC/2sinα

GN=1/3AC=BC/3sinα

BG=2/3AC=2BC/3sinα

AN=BN=>ΔANB ->isoscel=> m(∡BAN)=m(∡ABN)=α

m(∡BNA)=180°-2α

m(∡BNA)=m(∡GNR)=180°-2α

In ΔGNR, m(∡GRN)=90°=> sin ∡GNR=GR/GN=>GR=sin∡GNR*GN

sin∡GNR=sin(180°-2α)=sin180°*cos2α-sin2α*cos180°=0*cos2α-sin2α*(-1)=sin2α=2sinα*cosα

GR=2sinα*cosα*BC/3sinα=2*BC*cosα/3

Teorema medianei in triunghiul dreptunghic: Intr-un triunghi dreptunghic  lungimea medianei corespunzatoare unghiului drept este egal cu jumatate din lungimea ipotenuzei