Question

Intr-un triunghi dreptunghic sinusul unui unghi ascutit este $\frac{4}{5}$. Aratati ca lungimea laturilor triunghiului sunt in progresie aritmetica.

Answer 1

Sinusul unui unghi este cateta opusa/ipotenuza. Sa notam triunghiul cu ABC cu unghiul A=90, atunci AB si AC sunt catete si BC ipotenuza, si sa zicem ca unghiul C are acel sinus
$\sin{C}=\frac{AB}{BC}=\frac{4}{5}\Rightarrow AB=\frac{4}{5}BC$
Putem sa aflam si pe AC in functie de BC folosind teorema lui Pitagora
$AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}\Rightarrow AC^{2}=BC^{2}-AB^{2}=BC^{2}-\frac{16}{25}BC^{2}\Rightarrow AB=\frac{3}{5}BC<span>$
Observam ca ordinea de crestere este
$AB=\frac{3}{5}BC<\frac{4}{5}BC=AC<BC$ deci ratia trebuie sa fie pozitiva si este $r=\frac{BC}{5}$ creste cu o cincime din BC de fiecare data.