Question

Intr-un triunghi raza cercului circumscris acestuia este egala cu 2.Lungimile inaltimilor sunt numere intregi.Aratati ca triunghiul este echilateral

Answer 1

Cred ca mi-am dat seama cum se face.
Scriem mai intai teorema sinusurilor
$\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R=2*2=4$ de unde rezulta ca
$a=4\sin{A}$
$b=4\sin{B}$
$c=4\sin{C}$
Aria unui triunghi poate fi scrisa in 2 moduri
$S=\frac{a*h_{a}}{2}=\frac{abc}{4R}=\frac{abc}{4*2}\Rightarrow h_{a}=\frac{bc}{4}=\frac{4\sin{B}*4\sin{C}}{4}=4\sin{B}\sin{C}$ sin B si sin C nu pot fi concomitent egale cu 1, deoarece asta ar insemna ca B=90grade si C=90 grade, lucru imposibil, atunci
$h_{a}<4$
In mod similar se poate arata ca
$h_{b}<4$
$h_{c}<4$
Stim ca cele trei numere sunt intregi, deci inaltimile vor apartine multimii {1,2,3} pentru ca inaltimea nu poate sa fie 0 sau negativa si nici nu poate fi mai mare decat 4.
I) Sa presupunem ca ar fi toate trei diferite intre ele: atunci suntem obligati sa avem o egalitate ca cea de mai jos
$h_{a}=1$
$h_{b}=2$
$h_{c}=3$
Nu o sa conteze daca le iei apoi in alta ordine
Din formulele ariilor o sa avem atunci urmatoarea expresie
$a*h_{a}=b*h_{b}=c*h_{c}=2S$ de unde rezulta ca
$a=\frac{2S}{h_{a}}=\frac{2S}{1}=2S$
$b=\frac{2S}{h_{b}}=\frac{2S}{2}=S$
$c=\frac{2S}{h_{c}}=\frac{2S}{2}=\frac{2S}{3}$
Observam atunci ca avem cazul
$b+c=S+\frac{2S}{3}=\frac{3S+2S}{3}=\frac{5S}{6}<\frac{6S}{6}=S=a$
Deci ajungem la relatia
$b+c<a$ care incalca inegalitatea triunghiului, deci nu pot forma un triunghi, inaltimile nu pot fi distincte 2 cate 2
II) Presupunem ca 2 inaltimi sunt egale intre ele dar diferite fata de a treia inaltime. Sa zicem atunci ca
$h_{a}=h_{b}$ DAR
$h_{a}\neq h_{c}$ atunci
$a*h_{a}=b*h_{b}=b*h_{a}\Rightarrow a=b$ deci triunghiul este isoscel
Mai stim ca aria lui S poate fi exprimata si asa
$2S=c*h_{c}=a*b*\sin{C}=a^{2}*\sin{C}$
Dar stim din relatia de mai sus pentru teorema sinusurilor ca
$c=4\sin{C}$
Si atunci relatia devine
$4\sin{C}h_{c}=a^{2}*\sin{C}\Rightarrow a=2\sqrt{h_{c}}$
Mai stim ca
$a=b\Rightarrow 4\sin{A}=4\sin{B}\Rightarrow \sin{A}=\sin{B}\Rightarrow A=B$
Si atunci putem calcula si pe C
$C=\pi-A-B=\pi-2A\Rightarrow \sin{C}=\sin{\pi-2A}=\sin{2A}=2\sin{A}\cos{A}$
Ceea ce inseamna ca latura c poate fi scrisa in 2 feluri
$a*h_{a}=c*h_{c}\Rightarrow c=\frac{a*h_{a}}{h_{c}}$
si
$c=4\sin{C}=8\cos{A}\sin{A}$
Daca stim ca ha si hb sunt egale intre ele si hc este distinct, avem urmatoarele cazuri
1) $h_{c}=1$
Atunci
$a=2\sqrt{h_{c}}=2\sqrt{1}=2$
atunci rezulta ca
$\sin{A}=\frac{a}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\Rightarrow A=30$
Atunci stim cat este si cos A
$\cos{A}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Si rezulta atunci ca
$c=8\sin{A}\cos{A}=8\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$
Dar am stabilit deja ca
$c=\frac{a*h_{a}}{h_{c}}=a*h_{a}=2h_{a}=2\sqrt{3}\Rightarrow h_{a}=\sqrt{3}$
Deci ar reiesi ca inaltimea este un numar irational, dar noi stim ca este un nr intreg, deci acest caz e imposibil
2) $h_{c}=2$
Atunci avem
$a=2\sqrt{h_{c}}=2\sqrt{2}$
Atunci avem
$\sin{A}=\frac{a}{4}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow A=45$
dar stim ca pentru A=45 avem
$\cos{A}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
si rezulta atunci ca
$c=8\sin{A}\cos{A}=8\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}=2*2=4$
Dar am stabilit deja ca
$c=\frac{a*h_{a}}{h_{c}}=\frac{2\sqrt{2}*h_{a}}{2}=h_{a}*\sqrt{2}=4\Rightarrow h_{a}=2\sqrt{2}$ dar stim ca inaltimile sunt intregi, acesta este un numar irational, deci nu este o solutie
3)
$h_{c}=3$
Atunci avem
$a=2\sqrt{h_{c}}=2\sqrt{3}$
Atunci avem
$\sin{A}=\frac{a}{4}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow A=60$
Dar tocmai am determinat ca un unghi al unui triunghi isoscel are 60 de grade, deci triunghiul este echilateral. Dar daca triunghiul este echilateral atunci stim ca
$a=b=c$ deci
$c=\frac{a*h_{a}}{h_{c}}=a\Rightarrow \frac{h_{a}}{h_{c}}=1\Rightarrow h_{a}=h_{c}$ dar daca iti aduci aminte noi am pornit de la presupunerea ca ha si hc sunt diferite intre ele
$h_{a}\neq h_{c}$ atunci se incalca conditia pusa si nu se mai ia in considerare
III) Ne-a mai ramas o singura varianta: faptul ca toate cele 3 inaltimi sunt egale
$h_{a}=h_{b}=h_{c}$ Atunci din teorema sinsurilor se demonstreaza rapid ca triunghiul este echilateral
$a*h_{a}=b*h_{b}=b*h_{a}\Rightarrow a=b$ si
$a*h_{a}=c*h_{c}=c*h_{a}\Rightarrow a=c$
Deci a=b=c. Atunci inseamna ca
$a=b=c=4\sin{A}=4\sin{60}=4\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$
Mai ramane sa verificam ca toate inaltimile sunt intregi. Dar stim ca in general intr-un triunghi echilateral inaltimea are formula
$h=\frac{l\sqrt{3}}{2}$
unde l este latura triunghiului
In cazul nostru
$h_{a}=h_{b}=h_{c}=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}\sqrt{3}}{2}=3$ deci sunt intregi.