Question

Intre doua patrate perfecte consecutive se afla 84 de numere naturale.Sa se afle cele doua patrate perfecte.

Answer 1

Numerele naturale patrate perfecte consecutive sunt:
0²;1²;2²;3²;4²;5²;6²;7²;8²;9²;10².... adica:
0;1;4;9;16;25;36;49;64;81;100....
Intre 0 si 1 sunt 0 numere naturale
Intre 1 si 4 sunt 2 nr nat
Intre 4 si 9 sunt 4 nr nat
Intre 9 si 16 sunt 6 nr nat
Intre 16 si 25 sunt 8 nr nat
Intre 25 si 36 sunt 10 nr nat
Intre 36 si 49 sunt 12 nr nat
.........................
Se observa ca rezulatele obtinute sunt nr pare consecutive.
De aici se intelege ca intre n² si (n+1)² exista 2•n numere naturale

Deci la problema ta n=84÷2=42
Cele doua patrate perfecte intre care se afla 84 numere naturale sunt 42² si 43²

Answer 2

Fie $a^{2}$ si $(a+1)^{2}$ cele doua patrate perfecte consecutive.
Intre doua numere, x < y, se afla (y - x - 1) numere  (adica: din cele y numere, inclusiv y, scadem cele x numere pana la x inclusiv x si mai trebuie sa-l scoatem si pe y din numaratoare, adica mai scadem 1 din rezultat, deoarece avem nevoie de numerele aflate intre x si y, deci fara x si y).

Asadar: intre cele doua patrate perfecte ale noastre se afla:
84=$(a+1)^{2} - a^{2} -1$
84=$a^{2} +2*a+1 - a^{2} -1$
84=2*a
a=84:2=42

Deci patratele sunt:
$42^{2} =1764$ si $43^{2} =1849$

Verificare: 1849-1764-1=84 numere se afla intre $42^{2} =1764$ si $43^{2} =1849$.