Question

Între numerele reale x și y există relația x^2+y^2-12x-16y+64=0.să se arate că: a)0<și=x<și=12; 2<și=y<și=14;
B)x:y>și=7:24
Va rog ajutați-mă !!!

Answer 1

x^2 - 12x +36 +y^2-16y +64 - 36=0

(x - 6)^2 + (y-8)^2=36

(x-6)^2=36 - (y - 8)^2, (x-6)^2 ≥0 ∀ x∈R, deci ecuatia de gr. 2  f(y)=-y^2+16y-28 este pozitiva intre radacini:

(x-6)^2 = (6 - y +8)(6+y - 8)

(x-6)^2=(14 - y)(y - 2) ⇒ y≤14 si y≥2 ⇒ 2 ≤y ≤14

(y-8)^2=36 - (x-6)^2=x (12 -x)  ⇒ 0 ≤ x ≤12 , (y-8)^2 ≥0 ∀ x∈R, deci functia

f(x)= - x^2+12x este pozitiva intre radacini

0≤x≤12 ⇔ 2≤2+x≤14 (1)

2≤y≤14 (2)

(1) +(2) ⇒ 4≤x+2+y≤28 ⇔ 2≤x+y≤26 cu y≠0 putem impartii cu y

2/y ≤ x/y + 1≤26/y ⇒ 1 ≤ x/y +1 ≤26/14 ⇔ 0≤x/y≤6/7

ultima parte e de comentat

oricum daca x≥0 si y este pozitiv atunci varoarea minima a lui x/y este zero

nu cum scrie in enunt ca x/y≥7/24