Question

INTREBARE DE 98 DE PUNCTE In figura 3 ABCD este paralelogram . Fie punctele E,F,G astfel incat E apartine(AC) Gapartine(AD) EF║BC GE║AB $\frac{AE}{AC}$=$\frac{1}{3}$ AB=30 SI BC=18 cm
a)Aratati ca perimetrul AFEG este egal cu 32
b)Aflati raportul ariilor patrulaterelor AFEG si ABCD
c)Daca BD∩AC=O aratati ca punctul E este centrul de greutate al triunghiului ABD

Answer 1

a)

GE║AB si secanta AD ⇒ ∡GAF ≡ ∡ DGE ca ∡ corespondente  (1)

GA║EF si secanta AB ⇒ ∡GAF ≡ ∡ EFB ca ∡ corespondente  (2)

GE║ AF si GA║ EF sunt ║ cuprinse intre ║║. Deci GA ≡ EF si AF≡GE ⇒ AFEG este paralelogram  (3)

Din (1), (2) si (3) ⇒ paralelogramele ABCD si AFEG sunt figuri asemenea.  Scriem relatiile de asemanare: GA/DA =GE/AB=AE/AC                                   Dar AE/AC=1/3 din ipoteza

⇒ GA/ 18 = GE/30 = AE/AC = 1/3  ⇒  GA= 18/3=6 cm  si GE = 30/3=10 cm

⇒ Perimetrul lui AFEG este 2 ·6 + 2· 10 = 12+20= 32 cm

b)  Raportul laturilor celor 2 paralelograme asemenea ABCD si AFEG fiind 1/3 ⇔ Raportul ariilor lor este 1/3² = 1/9

c)

        AO ≡ OC si DO ≡ OB pt ca diagonalele oricarui paralelogram se taie in parti egale. ⇒ AO este linie mijlocie in Δ ABD.  (3)

        Cele 2 paralelograme asemenea ABCD si AFEG au diagonalele in raportul 1/3. Deci AE este 1/3 din AC  ⇔  EC= 2/3 din AC .   Dar pentru ca O este mijlocul lui AC ⇒ EO este jumatate din treimea de mijloc a lui AC.  Deci in Δ ABD , EO =AE/2 = AC/6  (4)

   Ne amintim ca centrul de greutate al unui Δ se afla pe linia mijlocie, la 2/3 de varf si 1/3 de baza.  (5)

Din (3), (4) si (5) ⇒ E este centrul de greutate al Δ ABD.

Answer 2

INTREBARE DE 98 DE PUNCTE In figura 3 ABCD este paralelogram . Fie punctele E,F,G astfel incat E apartine(AC) Gapartine(AD) EF║BC GE║AB $\frac{AE}{AC}$=$\frac{1}{3}$ AB=30 SI BC=18 cm
a)Aratati ca perimetrul AFEG este egal cu 32
b)Aflati raportul ariilor patrulaterelor AFEG si ABCD
c)Daca BD∩AC=O aratati ca punctul E este centrul de greutate al triunghiului ABD