Question

La exercitiul : 1 , 2 , 3 , 4 .

Answer 1

Răspuns:

1)

1·2+2·3+...+n(n+1) = n(n+1(n+2)/3

verificam ce relatia este satisfacuta pentru n=1:

1·2=1·2·3/3 ⇔ 2=2 - adevarat

presupunem relatia adevarata pentru n=k si demonstram ca este adevarata si pentru n=(k+1), k∈N*

n=k ⇒ 1·2+2·3+...+k(k+1) = k(k+1(k+2)/3 -adevarata

n=k+1 ⇒ 1·2+2·3+...+k(k+1)+(k+1)(k+2) = (k+1(k+2)(k+3)/3 - de demonstrat

1·2+2·3+...+k(k+1)+(k+1)(k+2) =

= k(k+1(k+2)/3 + (k+1)(k+2) =

=(k+1)(k+2)[k/3+1] =

= (k+1)(k+2)(k+3)/3 - q.e.d

4) 1³+2³+3³+...+n³=[n(n+1)/2]²

n=1: 1³ = [1·2/2]² ⇔ 1³ = [1]² ⇔ 1 = 1 -adevarat

presupunem relatia adevarata pentru n=k:

1³+2³+3³+...+k³ = [k(k+1)/2]²

demonstram ca este adevarata si pentru n=(k+1):

1³+2³+3³+...+k³+(k+1)³ = [(k+1)(k+2)/2]²

1³+2³+3³+...+k³+(k+1)³ =

= [k(k+1)/2]² + (k+1)³ =

= k²(k+1)²/2²+ (k+1)³ =

= (k+1)²[k²/4+ (k+1)] =

= (k+1)²[(k²+4k+4)/4] =

= (k+1)²[(k+2)²/2²] =

= [(k+1)(k+2)/2]² -q.e.d.