Question

La problema aceasta am încercat sa iau cazurile x>y>z>u>v si invers si nu am reușit sa finalizez.
Ma puteți ajuta va rog?​

Answer 1

Aici este evident de observat ca este o suma de puteri ale lui 5, unde fiecare termen de termina în ultima 5 dacă exponentul este diferita de 0 și 1 dacă exponentul este 0.

Presupunând ca toate are fi diferite de 0 atunci ultima cifra a acelei sume este 5 ceea ce este imposibil.

Observam ușor ca să poată avea ultima cifra 7 aceasta suma, 2 dintre cei 5 termeni trebuie sa fie 1,deci 2 din cele 5 numere(x, y, z, u, v) este 0 asa ca o sa ramai într-o ecuație de forma 5^a+5^b+5^c=775, împărți la 5 și folosești același raționament

Answer 2

Ultima cifre pentru 5^x este 1 daca x=0 si 5 in rest.

Notam:

$s = {5}^{x} + {5}^{y} + {5}^{z} + {5}^{u} + {5}^{v}$

1.Presupunem ca x, y, z, u, v sunt toate mai mari strict decat 0,atunci ultima cifre a numarului s este 5, dar ultima cifra pt 777 este 7 rezulta contradicție.

2.Pt x, y, z, u>0 si v=0 ultima cifra a numarului s este 1,la fel se obține contradicție

3.Pt x, y, z>0 si u=v=0 rezulta ultima cifra a lui s este 7.

4. x, y>0 si z=u=v=0 => ultima cifra 3

5. x>0 si y=z=u=v=0 => ultima cifra 9

6.toate egale cu 0 => ultima cifra 5

Singurul caz plauzibil este cazul 3.

Rezulta :

$s = {5}^{x} + {5}^{y} + {5}^{z} = 775$

Daca toate x, y, z<4 =>max(s)=475 contradicție

Cel putin unul(de fapt doar unul) dintre x, y, z trebuie sa fie 4

X=4,u=v=0

Rezulta se simplifica iar problema

$s = {5}^{y} + {5}^{z} = 150$

Asemănător se arata ca y=3 si z=2

Solutia este :

X=4

Y=3

Z=2

U=0

V=0