Question

la un concurs de matematica participa 100 de elevi proba constand in gasirea raspunsului la trei intrebari.
la sfarsitul concursului se constata ca s-au primit , in total , 200 de raspunsuri corecte.
aratati ca exista 34 de elevi care au raspuns corect la aceleasi 2 intrebari.
va multumesc !

Answer 1

Folosim Metoda reducerii la absurd (M.R.A.):

Presupunem ca sunt maxim 33 copii care au raspuns corect la aceleasi 2 intrebari. Notam i1, i2 si i3 cele trei intrebari, deci:

max 33 copii au raspuns la i1 si i2, deci in total au maxim 66 raspunsuri corecte
max 33 copii au raspuns la i1 si i3, deci in total au maxim 66 raspunsuri corecte
max 33 copii au raspuns la i2 si i3, deci in total au maxim 66 raspunsuri corecte
__________________________________
Adunam copiii si raspunsurile corecte si gasim ca:

maxim (33+33+33)=99 copii au dat maxim (66+66+66)=198 raspunsuri corecte

Dar sunt 100 copii si 200 raspunsuri corecte, deci al 100-lea copil a dat cele doua raspunsuri corecte (la doua intrebari), deci el face parte dintr-una din cele 3 grupe (fie i1 si i2, fie i1 si i3, fie i2 si i3), adica una din grupe trebuie sa aiba 34 de copii, ceea ce contrazice presupunerea ca maxim 33 copii au raspuns corect la aceleasi doua intrebari, deci presupunerea a fost falsa, ceea ce se traduce prin faptul ca exista, de fapt, 34 copii care au raspuns corect la aceleasi 2 intrebari.

(q.e.d.)