Question

Latura unui triunghi echilateral este de 8 radical din 3 cm. a) Lungimea inaltimii triunghiului este ..... ? cm b) Aria triunghiului este ...... ?cm patrati c) Raza cercului circumscris triunghiului este ....... ? cm

Answer 1

Ti-as putea da doar formulele, dar hai sa le deducem.
Intr-un triunghi echilateral, inaltimea si mediana sunt aceeasi dreapta. Deci daca ducem inaltimea AD de exemplu pe BC, obtinem un triunghi dreptunghic ABD in care cunoastem ipotenuza AB=l si cateta $BD=\frac{BC}{2}=\frac{l}{2}$ unde l este latura triunghiului

Atunci din acel triunghi dreptunghic aflam cateta AD, care este si inaltimea triunghiului:
$AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}=l^{2}-\frac{l}{2})^{2}=l^{2}-\frac{l^{2}}{4}=\frac{4*l^{2}-l^{2}}{4}=\frac{3*l^{2}}{4}\Rightarrow AD=h=\frac{\sqrt{3}l}{2}$
In cazul nosru particular
$h=\frac{8\sqrt{3}*\sqrt{3}}{2}=12$

Aria unui triunghi are formula generala
$A_{ABC}=\frac{h*baza}{2}$
In cazul nostru avem:
$A_{ABC}=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}=\frac{64*3*\sqrt{3}}{4}=\48\sqrt{3}$

Raza cercului circumscris are formula
$R=\frac{abc}{4S}$ unde a,b,c sunt laturile triunghiului si S este aria
dar noi am vazut ca la echilateral a=b=c=l si $S=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}$ Dupa cum am demonstrat
Atunci
$R=\frac{l^3}{4\frac{l^2\sqrt{3}}{4}}=\frac{l}{\sqrt{3}}=\frac{l\sqrt{3}}{3}=\frac{8\sqrt{3}*\sqrt{3}}{3}=8$

Toate formulele scrise pe parcurs sunt general valabile pentru triunghiur echilaterale de latura l