Question

Legi de compozitie (nevoie urgent):
Tot ex. 2

Answer 1

$\it a)\ \ (x*y)*z=[log_2(2^x+2^y-1)]*z=log_2(2^{log_2(2^x+2^y-1)}+2^z-1)=\\ \\ \\ =log_2(2^x+2^y-1+2^z-1)=log_2(2^x+2^y+2^z-2) \ \ \ \ (1)\\ \\ \\ x*(y*z)=x*[log_2(2^y+2^z-1)]=log_2(2^x+2^{log_2(2^y+2^z-1)}-1)\\ \\ \\ =log_2(2^x+2^y+2^z-1-1)=log_2(2^x+2^y+2^z-2) \ \ \ \ \ (2)\\ \\ \\ (1),\ (2) \Rightarrow (x*y)*z=x*(y*z) \Rightarrow legea \ dat\breve a\ este\ asociativ\breve a$

b)

$\it x*0=log_2(2^x+2^0-1)=log_2(2^x+1-1)=log_2 2^x=xlog_2 2=x\cdot 1=x\\ \\ 0*x=log_2(2^0+2^x-1)=log_2(1+2^x-1)=log_2 2^x=xlog_2 2=x\cdot 1=x\\ \\ Deci,\ \ x*0=0*x=x \Rightarrow e=0\ este\ elemenul\ neutru\ al\ legii\ date\ .$

$\it c)\ \ x*(x+1)=1 \Rightarrow log_2(2^x+2^{x+1}-1)=1 \Rightarrow 2^x+2\cdot2^x-1=2 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow 3\cdot2^x=3\bigg|_{:3} \Rightarrow 2^x=1 \Rightarrow x=0$