Question

Lemona are 2 zaruri si Lifip are 6 zaruri. Amandoi arunca toate zarurile. Care este probabilitatea ca unul dintre zarurile lui Lifip sa indice un numar indicat de un zar al Lemonei?

Answer 1

Lemona poate da o dubla din cele 6 posibile sau poate da unu dintre cele 30 posibilitati de zaruri formate din numere distincte.

Probabilitatea de a da o dubla este 1/6
Probabilitatea de a nu da dubla este 5/6

Sa presupunem ca Lemona a dat o dubla numarul x∈{1,2,3,4,5,6}. Probabilitatea ca pe nici 
unul din cele 6 zaruri Lifip sa nu obtina x este (5/6)⁶, iar probabilitatea de a obtine x pe cel putin unul din zaruri este 1-(5/6)⁶.(este destul de mare)

Presupunem ca Lemona nu a dat dubla, ci a dat o combinatie de forma {x,y}. In acest caz sansele ca pe unul din zarurile lui  Lifip  sa  nu apara x sau y sunt de 4/6=2/3, iar sansele ca pe nicunul sa nu apara nici x, nici y sunt (2/3)⁶ . In fine, sansele ca pe cel putin unul dintre zarurile lui Lifip sa apara fie x, fie y sunt 1- (2/3)⁶ (este si mai mare, evident)
  
Evenimentele ca Lemona sa dea o dubla si sa dea o combinatie care sa nu fie dubla sunt incompatibile adica nu se pot realiza simultan.

De aceea si evenimentele:
A="Stiind ca Lemona a dat dubla x, sa dea si Lifip pe (cel putin) un zar x"
si
B="Stiind ca Lemona a dat {x,y}, sa dea si Lifip pe (cel putin) un zar x sau y"

sunt si ele incompatibile, in consecinta

P(A∨B)=P(A)+P(B) (deoarece, repet sunt incompatibile)
Ori A∨B este tocmai evenimentul a carui probabilitate vrem sa o calculam.

P(A)+P(B)=1/6·[1-(5/6)⁶]+5/6·[1-(4/6)⁶]=0.87102

Observatie: Pe parcursul rezolvarii mi-am dat seama ca enuntul ar putea cere ca exact unul dintre zarurile lui Lifip sa aiba exact una din fetele/fata pe care a dat-o Lemona. Daca enuntul este asa, desi ar trebui specificat clar, ar trebui sa folosim schema lui Poisson. In schimb mai sus, am  rezolvat (sau cel putin am incercat sa rezolv) problema in care cel putin unul dintre cele 6 zaruri ale lui Lifip arata o fata pe care a obtinut-o Lemona.